Математический метод

Понятие о математическом методе

Объекты, с которыми имеет дело математика, например числа и геометрические фигуры, по своей природе абстрактны, и число их в каждом конкретном исследовании обычно бесконечно. Несмотря на то, что математические объекты не редко связаны с реальными объектами, весьма редко получается решить математический вопрос путем непосредственного обращения к реальному миру. Например, эксперименты с карандашом, бумагой, линейкой и циркулем могут привести к заключению, что все медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке, но никакое количество экспериментов не помогло бы проверить истинность этого утверждения для бесконечного числа возможных треугольников.

Математический метод для решения подобных вопросов состоит в следующем. Некоторые утверждения, касающиеся рассматриваемых объектов, признаются очевидными, составляющими часть представления об объектах. Эти утверждения принято называть аксиомами или постулатами. Как только основные понятия и аксиомы установлены, все дальнейшие сведения об изучаемых объектах в математике получаются посредством логических рассуждений, в которых все новые понятия, если они появляются, определяются через предыдущие. Вполне очевидно, что кто-то не захочет принять ту или иную систему аксиом. Он может это сделать, во-первых, потому, что не в состоянии представить себе никаких объектов, к которым аксиомы могли бы быть правильно применены, во-вторых, потому, что предложенные аксиомы не выражают правильно свойств тех объектов, к которым должны применяться. Не существует логических способов заставить такого человека изменить свое мнение. Для этого человека математика (по меньшей мере та ее часть, которая развивается именно из такой частной системы аксиом) представляется бессодержательной игрой, хотя эта игра может ему и нравиться. Тем не менее истинная ценность и мощь математического метода состоят в том, что тем, кто рассматривает аксиомы как выражения простых и основных законов, управляющих известными объектами, математический метод позволяет надежно и неопровержимо получать более сложные и часто неожиданные истинные утверждения об изучаемых объектах.

По сути математический метод может быть представлен, как последовательность <<аксиомы — определения — теоремы>>. Может показаться, что такой подход к математике бессодержателен и бесплоден. И на самом деле, гораздо проще убедиться в истинности какого-нибудь утверждения геометрии или анализа посредством нескольких чертежей с <<типичными>> случаями или манипуляциями с бесконечными рядами, выглядящих как будто правильно, чем посредством тщательных логических рассуждений. Однако такой подход чрезвычайно ограничен. Он способен дать лишь поверхностные оценку и понимание математики. Поэтому в любом математическом исследовании точность определений, строгость и полнота доказательств должны находиться на первом плане. Это не значит, что интуиция должна быть оставлена. Напротив, в противоположность механическому экспериментированию нахождение точных доказательств часто требует сочетания высокого остроумия с полным интуитивным пониманием дела. Для точного и правильного логического вывода используются методы математической логики.